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修正1 5/27
IncompleteGammaFunctionSecond2.txt

修正2 8/7

# 第2種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The Second Kind
# 引数 値 値 ($A, $X)
# 戻り値 第2種不完全ガンマ関数 ($IncompleteGammaFunction)
sub COMPLEMENTGAMMAFUNCTIONSECOND{
my ($A, $X) = @_;
my $IncompleteGammaFunction = 0;
my $IncompleteGamma = 0;
my $IncompleteGammaFunctionFirst = 0;
my $GammaFunction = 0;
my $Factorial = 1;
my $Num = 0;
my $Den = 1;
my $Sum = 0;

# 値の確認
if($X < 0){
return 0;
}

if(($A > 0) && (($A - int($A)) == 0)){
# 正の整数
for(my $i = 0; $i < $A; $i++){
# 階乗
$Factorial = ($i == 0 ? 1 : $Factorial * $i);
# 分子
$Num = $X ** $i;
# 分母
$Den = $Factorial;

$Sum += ($Num / $Den);
}

# 第2種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The Second Kind
$IncompleteGamma = $Factorial * (exp(-$X) * $Sum);
}else {
$GammaFunction = &GAMMAFUNCTION($A);
$IncompleteGammaFunctionFirst = &COMPLEMENTGAMMAFUNCTIONFIRST($A, $X);

# 第2種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The Second Kind
$IncompleteGamma = $GammaFunction - $IncompleteGammaFunctionFirst;
}

# 第2種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The Second Kind
$IncompleteGammaFunction = $IncompleteGamma;

return $IncompleteGammaFunction;
}

# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
# 引数 値 値 ($A, $X)
# 戻り値 第1種不完全ガンマ関数 ($IncompleteGammaFunction)
sub COMPLEMENTGAMMAFUNCTIONFIRST{
my ($A, $X) = @_;
my $IncompleteGammaFunction = 0;
my $IncompleteGamma = 0;
my $PrevIncompleteGamma = 0;
my $Factorial = 1;
my $Num = 0;
my $Den = 1;
my $Sum = 0;
my $Sign = 0;
my $Limit = 100;
my $Epsilon = 1.0e-10;

# 値の確認
if($X < 0){
return 0;
}

if(($A > 0) && (($A - int($A)) == 0)){
# 正の整数
for(my $i = 0; $i < $A; $i++){
# 階乗
$Factorial = ($i == 0 ? 1 : $Factorial * $i);
# 分子
$Num = $X ** $i;
# 分母
$Den = $Factorial;

$Sum += ($Num / $Den);
}

# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
$IncompleteGamma = $Factorial * (1 - (exp(-$X) * $Sum));
}else {
for(my $i = 0; $i < $Limit; $i++){
# 符号
$Sign = (($i % 2) == 0 ? 1: -1);
# 分子
$Num = $X ** $i;
# 分母
$Den = $A + $i;
# 階乗
$Factorial = ($i == 0 ? 1 : $Factorial * $i);

# 一つ前
$PrevIncompleteGamma = $IncompleteGamma;
# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
$IncompleteGamma += ($Sign * ($Num / ($Den * $Factorial)));

# 収束判定
last if(abs($IncompleteGamma - $PrevIncompleteGamma) < $Epsilon);
}

# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
$IncompleteGamma = ($X ** $A) * $IncompleteGamma
}

# 第1種不完全ガンマ関数 Incomplete Gamma Function Of The First Kind
$IncompleteGammaFunction = $IncompleteGamma;

return $IncompleteGammaFunction;
}

# ガンマ関数(近似) Gamma Function Approximation
# 引数 値 ($X)
# 戻り値 ガンマ関数(近似) ($GammaFunction)
sub GAMMAFUNCTION{
my ($X) = @_;
my $GammaFunction = 0;
my $Factorial = 1;
my $Diff = abs($X - int($X));
my $Pi = atan2(1, 1) * 4;
my $Temp = 0;

# 値の確認
if(($X <= 0) && ($Diff == 0)){
return 0;
}

if($Diff == 0){
for(my $i = $X - 1; $i >= 2; $i--){
$Factorial *= $i;
}

# X-1の階乗 ガンマ関数 Gamma Function
$GammaFunction = $Factorial;
}elsif($Diff == 0.5){
my $Start = ($X > 0 ? ((2 * int($X)) - 1) : ((2 * int(abs($X) + 1)) - 1));

for(my $i = $Start; $i > 1; $i -= 2){
$Factorial *= $i;
}

if($X > 0){
$Temp = ($Factorial / (2 ** int($X))) * sqrt($Pi);
}else {
$Temp = ((((-1) ** int(abs($X) + 1)) * (2 ** int(abs($X) + 1))) / $Factorial) * sqrt($Pi);
}

# 半整数 ガンマ関数 Gamma Function
$GammaFunction = $Temp
}else {
if($X > 0){
$Temp = exp(&LOGGAMMAFUNCTION($X));
}else {
$Temp = $Pi / (sin($Pi * $X) * exp(&LOGGAMMAFUNCTION(1 - $X)));
}

# ガンマ関数(近似) Gamma Function Approximation
$GammaFunction = $Temp
}

return $GammaFunction;
}

# ログガンマ関数(近似) Log Gamma Function Approximation
# 引数 値 ($x)
# 戻り値 ログガンマ関数(近似) ($LogGammaFunction)
sub LOGGAMMAFUNCTION{
my ($x) = @_;
my $LogGammaFunction = 0;
my @Bernoulli = ((1 / 12), (1 / 360), (1 / 1260), (1 / 1680), (1 / 1188), (691 / 360360), (1 / 156), (3617 / 122400), (43867 / 244188), (174611 / 125400), (77683 / 5796), (236364091 / 1506960));
my $Pi = atan2(1, 1) * 4;
my $X = $x;
my $Sum = 0;
my $Sign = 0;
my $Power1 = 1;
my $Power2 = 1;
my $Count = @Bernoulli - 1;

for($X = $x; $X <= $Count; $X++){
$Power1 *= $X;
}
$Power2 = 1 / ($X * $X);

for(my $i = $Count; $i >= 0; $i--){
# 符号
$Sign = (($i % 2) == 0 ? 1: -1);

$Sum = $Sum + ($Sign * $Bernoulli[$i]);
$Sum = $Sum * $Power2 if($i != 0);
}
$Sum = $Sum / $X;

# ログガンマ関数(近似) Log Gamma Function Approximation
$LogGammaFunction = ((1 / 2) * log(2 * $Pi)) - log($Power1) - $X + (($X - (1 / 2)) * log($X)) + $Sum;

return $LogGammaFunction;
}


参考URL
不完全ガンマ関数 - Wikipedia
不完全ガンマ関数 - 高精度計算サイト

一言
ロンバーグ積分 シンプソンの公式だと$Aが一以下の時、値が出ないのでガウス-ルジャンドル数値積分を使用
ただし一以下で値を出しても誤差が大きく出る
$Aが負だと値が出せない

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